从一道高考冲刺押题谈二元不等式的证明方法ooo高考数学

     文/邹生书（许兴华数学/选编）

这是我校刚刚结束的五月高三周考试题，是2018全国高考冲刺押题卷二数学文科第21题，是一道有关函数不等式的压轴题。第1问求函数的单调区间，考查用导数工具判断函数的单调性，属于基础知识的考查比较容易。第2问是含有两个变元式子的大小比较的问题，重点考查构造函数证明不等式，主要考查考生发现问题、提出问题以及运用所学知识解决问题的能力，考查综合素质和数学素养，难度较大对能力方面的要求较高。

用导数解决一元不等式是常见题型，而用导数处理二元不等式的问题没有引起人们的重视。这类问题教师很少讲自然学生也就很少练，面对此题绝大多考生束手无策不知怎么切入求解，不得不选择放弃。本文以这道高考冲刺函数押题为例，谈谈构造函数证明二元不等式的几种方法，希望对备战高考的高三学子有所帮助。

二、试题解析：特值探路猜大小，构造函数证不等

【分析】这是双变元式子的大小比较问题，谁大谁小？何时大何时小？是否可以相等？等号什么时候成立？等等这些事项在比较大小时都要说得清楚明白，解答时不仅要有大小比较的结果，更要有比较大小的过程和理由。比较大小最常用的方法是作差法和作商法，其中作差法使用频率最高。但对本题而言直接用作差法比较大小困难很大，宜用先猜后证的思想方法，也就是我们先用特殊值法探路，通过两个式子在特殊情形下的大小情况，归纳猜想在一般情形下的大小关系，最后通过构造函数来证明不等式。

1、特值探路猜大小

【评注】我们通过取特殊值，判断两种特殊情形下两个式子的大小，然后从最简单的情形去思考，归纳猜想两个式子的大小关系，这样就将大小比较问题转化为证明不等式的问题，这样目标明确了，努力也就有了方向。

2、构造函数证不等

2.1 倍值换元：将二元问题转化为一元问题来解决

【作者简介】邹生书，男，1962年12月生，湖北阳新县人。湖北大学数学本科函授毕业，理学士学位，中学高级教师，黄石市高中骨干教师，现任教于阳新县高级中学。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。

从2007年开始到现在一直坚持教学研究与写作，在《数学通报》、《数学通讯》、《数学教学》、《中学数学》、《中小学数学》、《中学数学研究》（广州）（南昌）、《中学数学教学》、《数学教学研究》、《高中数学教与学》、《中学数学月刊》、《中学数学杂志》、《中学教研》（数学）、《河北理科教学研究》、《数理化学习》、《中学生数学》、《数理天地》等20多种省级和国家级学术期刊上发表教学论文二百九十余篇。

《设一个好方程，事半功倍》，原文发表于《高中数学教与学》08年第7期，同年被中国人民大学书报资料复印中心《中学数学教与学》第10期全文转载。《圆锥曲线又一个定点和定值》，在北大核心期刊《数学通报》09年第7期上刊登。指导12届毕业生潘明财、余敦刚撰写的论文《正多边形一个优美定值的研究性学习》，荣获《数学通讯》11年高中生数学论文竞赛特等奖，同时在《数学通讯》杂志上刊登。发表在双月刊《中学数学教学》10年第4期的文章《圆锥曲线极点与极线的一组性质》被引用达24次之多。

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